2. 恆等式 (Identities)
2.1 恒等式的義意
恒等式係指等號左方與右方經運算後有完全相同的項(terms)。
為咗可強調「恒等」，數學家作咗一個”恒等”符號 \(\equiv\)。
例： 證明 (x + 1) (x + 4) = (x + 2) (x + 3) – 2 是恆等式。
解：
\( \begin{align}
左方 & = (x + 1) (x + 4) \\
& = x^{2} + x + 4x + 4 \\
& = x^{2} + 5x + 4 \\
右方 & = (x + 2) (x + 3)-2 \\
& = x^{2} + 2x + 3x + 6-2 \\
& = x^{2} + 5x + 4 \\
\because \quad & 左方 = 右方 \\
\therefore \quad & (x + 1) (x + 4) \equiv (x + 2) (x + 3)-2
\end{align} \)
此外，對恆等式中的變數x代上任意數，恆等式依然成立。
例： 若A(x + 2) – 4 ≣ 3(x + 1) – B，求A和B的值。
解：
\(\begin{align}
代x = －2， \quad \quad \\
A(-2 + 2)-4 & = 3(-2 + 1)-B \\
– 4 & = -3-B \\
B & = 1 \\
代x = 0，\quad \quad \quad \\
A(0 + 2)-4 & = 3(0 + 1)-1 \\
2A-4 & = 3-1 \\
2A & = 6 \\
A & = 3 \\
\end{align} \)
2.2 常用的恆等式 (Common Identities)
- \((a + b) (a – b) = a^{2}-b^{2}\)
- \( (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \)
- \( (a-b)^{2} = a^{2}-2ab + b^{2} \)
- \( (a + b)^{3} = (a + b)(a^{2}-ab + b^{2}) \)
- \( (a-b)^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) \)
例： 展開 (5 – 2a)2
解：
\(\begin{align}
(5-2a)^{2} & = 5^{2}-2(5)(2a)+(2a)^{2} \\
& = 25-20a+4a^{2}
\end{align} \)