6. 率及比 (Rate and Ratio)
6.1 率及比的定義
- 率是「兩個不同量(單位)相除，有單位」。
- 例如小明每天工作10小時，一天的人工是$500。而時薪就係一個率。
\(\begin{align}
小明的時薪 & = \dfrac{每日的收入}{工作時數} \\
& = \dfrac{500}{10} \\
& = 50 元/小時
\end{align}\)
- 例如小明每天工作10小時，一天的人工是$500。而時薪就係一個率。
- 比是「兩個相同量(單位)相除，没有單位」。
- 例如小強重80kg、小敏重50kg。小強和小敏的體重比是沒有單位的。
\(\begin{align}
\dfrac{小強的體重}{小敏的體重} & = \dfrac{80}{50} \\
& = \dfrac{8}{5}
\end{align}\) - 上面係計算比嘅方法。而習慣上，喺寫答案時，我地會寫
- 小強體重：小敏體重 = 8 : 3
- 例如小強重80kg、小敏重50kg。小強和小敏的體重比是沒有單位的。
6.2 重要公式
\(速率 (Speed) = \dfrac{距離 (Distance)}{時間 (Time)}\)
- 計算速度問題時，需留意各數值的單位是否一致。
- 例如一架車的𨕦率係60km/hour。
- 車行駛2小時所移動的距離係120km。
- 車行駛10分鐘所移動的距離係10km而唔係600km(因為10分鍾 = 1/6 小時）
- 例如一架車的𨕦率係60km/hour。
- 計算速度問題時，需留意各數值的單位是否一致。
\(如 \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{p}{q}，\\
則\quad a : b = p : q \)
- 其實依個唔係公式，只係一個數學家用嚟書寫”比”嘅習慣/方式。
- 計算比例時，單位需相同。
\(\begin{align}
如 \quad & a = 1m，b = 20cm； \\
則 \quad & \dfrac{a}{b} \\
& = \dfrac{1m}{20cm} \\
& = \dfrac{100cm}{20cm} = \dfrac{5}{1} \\
\therefore \quad & a : b \\
& = 5 : 1
\end{align}\)
6.3 比之應用
6.3.1 比例尺 (Map Scale)
地圖上的比例尺一般是以「1:n」的形式來表示。即
\(\dfrac{地圖中的長度}{實際的長度} = \dfrac{1}{n}\)
例1： 在一幅比例尺是 1：50 000 的地圖上，量度得一段道路長 4.5 cm。該段道路的實際長度（以 km 為單位）是多少？
答： 設實際長度 = x
\( \begin{align}
\dfrac{4.5}{x} & = \dfrac{1}{50000} \\
x & = 225000 cm \quad \quad \quad (留意:答案的單位是一致的) \\
x & = \dfrac{225000}{100×1000} km \quad \quad (之後再轉換單位) \\
x & = 2.25km
\end{align}\)
6.3.2 三項的比
例2：已知a : b = 5 : 6，b : c = 1 : 3，求a : b : c。
答: 在把兩個比結合埋一齊之前，首先要透過把兩個比擴大，確保同時出現在兩個比中的變數的數值變成一樣。為方便理解，大家留意下面紅色的字。
\(\begin{align}
a : {\color{Red}b} & = 5 : {\color{Red}6} \\
{\color{Red}b} : c & =\quad 1 : 3 \\
& =\quad {\color{Red}6}: 18\\
\therefore a : {\color{Red}b} : c & = 5 : {\color{Red}6} : 18
\end{align}\)
6.3.3 分錢問題
例3： 若A和B以3：5的比來分$1000，求每人所得的款項。
方法一：傳統方法
考慮A及B所得佔全部的幾分之幾。
\(\begin{align}
A所得的款項 & = \dfrac{3}{3 + 5} \times 1000 \\
& = 375元
B所得的款項 & = \dfrac{5}{3 + 5} \times 1000 \\
& = 625元
\end{align}\)
方法二：k方法
因a：b = 3：5，所以可設A所得的款項為3k，B所得的款項為5k。
\(\begin{align}
\therefore \quad 3k + 5k & = 1000 \\
8k & = 1000 \\
k & = 125\\
\therefore \quad A所得的款項 & = 3 × 125 = 375元 \\
B所得的款項 & = 5 × 125 = 625元
\end{align}\)