二元一次及二元二次聯立方程 – 代數法
5.2 使用代數方法解分別為二元一次及二元二次的聯立方程(Use Algebraic Method to Solve Simulataneous Equations in Two Unknowns, one Linear and one Quadratic)
二元一次及二元二次聯立方程代數法 其實同解二元一次聯立方程嘅係一樣的，方法都係有兩個:
- 加減消元法(Method of Elimination)
- 代入消元法(Method of Subsitution)。
過程係煩複咗，但唔難。一般來說，我覺得用加減消元法會簡單D。
另一點要留意的是消元後我地會得到一條一元二次方程。㩒計數機一般會有兩個根 (如 x = 3 或 x = 5)。我地就要分別將個x值代入其中一條公式嚟計返個y值出嚟。
- 按圖像法嘅概念，這兩點代表咗直線(二元一次方程)同拋物線(二元二次方程)的兩個相交點。
解說：
- 題目中嘅“二元二次方程” 通常會係以“y = 咩嘢”嘅形式俾你。所以我哋最好就係將第二條“二元一次”方程變埋做“y = 咩嘢”嘅形式。
- 咁做之後就可以好簡單咁整走個y，得到一條一元二次方程。
- 解完條一元二次方程之後通常我哋會得到兩個x嘅根（即答案）。
- 我哋仲要做嘅係分別將x嘅根代入條一元一次方程度計返相應嘅y值。
示範：
\( \left
\{\begin{matrix}y=x^{2}+x-6 \quad \cdots (1) \\ 2x-3y=1 \quad\cdots (2)\end{matrix} \right. \)
從(2), \(\quad y=\dfrac{2x-1}{3} \quad\cdots (3)\)
代(3)入(1),
\(\begin{align}
&\dfrac{2x-1}{3} =x^{2}+x-6 \\
&2x-1 = 3x^{2}+3x-18 \\
&3x^{2} + x – 177 = 0 \\
&x = 2.22 \quad 或 \quad x= -2.55
\end{align}\)
代 \(x = 2.22\) 入 (3), \(y = 1.15\)
代 \(x = -2.55\) 入 (3), \(y = 2.03\)
所以聯立方程的解為 \(x=2.22, y=1.15 或 x=-2.55, y=2.03\)
§ 同上一課嘅圖解法比較，我哋會發覺圖解法嘅答案係“唔係好準”。
- 咁係因為圖像嘅精細度有限（如果用手畫仲會畫得唔準）。
- 而就係因為咁，所以考評局應該唔會叫你畫二次方程嘅圖。
示範：
\( \left
\{\begin{matrix}y=x^{2}+x-6 \quad \cdots (1) \\ 2x-3y=1 \quad\cdots (2)\end{matrix} \right. \)
從(2), \(\quad 3y=2x-1 \quad\cdots (3)\)
\((1) \times 3\),
\(3y = 3x^{2}+3x-18 \quad\cdots (4)\)
\((3) – (4)\)
\(\begin{align}
&3x^{2} + x – 177 = 0 \\
&x = 2.22 \quad 或 \quad x= -2.55
\end{align}\)
代 \(x = 2.22\) 入 (3), \(y = 1.15\)
代 \(x = -2.55\) 入 (3), \(y = 2.03\)
所以聯立方程的解為 \(x=2.22, y=1.15 或 x=-2.55, y=2.03\)
§ 當然，計到嘅答案同用代入消元法計到嘅係一樣。