解可變為二次方程的方程
5.3 解 可變為二次方程 的方程 (Solve Equations which can be Transformed into Quadratic Equations)
解 可變為二次方程的方程 其實係指
- 當我哋解一條方程嘅時候，原方程最終會被化簡成一條二次方程。
- 之後我哋就可以用“解二次方程”嘅方法（用計數機嘅程式）嚟計到個答案。
文憑課程中指明咗“可變為二次方程的方程”包括
- 分式方程
- 指數方程
- 對數方程
- 三角方程
5.3.1 可變為二次方程的方程 – 分式方程（Fractional Equations）
分式方程係指方程入面至少會有一個以多項式做分母嘅分數式出現。
解說：
- 其實解分式方程同冇咩特別。
- 就當你睇到條數嘅時候唔知點計，咁你會覺得有咩可以做吓呢？
- 因為要計“分數”相減，我哋要先做“通分母”。
- 通完分母之後條數會變成咁：
\(\dfrac{2(x+2)-1(x+1)}{(x+1)(x+2)}=1\) - 之後繼續化簡落去吧！
\(\begin{align}
\dfrac{2x+4-x-1)}{x^{2}+2x+x+1)}&=1 \\
\dfrac{x+3}{x^{2}+3x+1}&=1 \\
x+3&=x^2+3x+1 \\
x^2+2x-2&=0 \\
x=0.73 \quad &或 \quad x = -2.73
\end{align}\)
5.3.2 指數方程（Exponential Equations）
指數方程其實同“二次方程”個樣差唔多，只不過ｄ指數（即次方）會大ｄ。
- 例如： x4 + 4x2 – 5 = 0
- 留意俾你計得嘅指數方程都會有一個特點，就係兩個指數會相差一倍。
- 就好似x4同x2，或者x6同x3咁。
- 有咁嘅特點係因為唯有咁，條指數方程先可以變成“二次方程”。
解說：
- 因為兩個指數係相差一倍，所以我哋先利用 x4 = (x2)2 嚟改變條方程：
(x2)2 + 4x2 – 5 = 0 - 喺依個時候，我哋只要當“x2”係一個公仔，咁就睇到條方程其實係一條二次方程。
即係好似： y2 + 4y – 5 = 0 - 有好多老師會教你哋設 y = x2，然後寫上面條方程出嚟。不過我覺得只要你接受到“當x2係個公仔“，咁就可以直接計落去。
- 整個解方程嘅步驟如下：
\(\begin{align}
x^{2} + 4x^{2}-5 &= 0\\
(x^{2} + 4x^{2}55 &= 0 \quad {\color{Red} \leftarrow }這是二次方程，所以可以直接篤計數機。 \\
x^{2}=5 \quad &或 \quad x^{2}=-1 （捨去，因x^{2}不能是負數） \\
x = \sqrt{5} \quad &或 \quad x =-\sqrt{5} \quad {\color{Red} \leftarrow } 記住我哋要一路計落去，直到接到x為止。
\end{align}\)
5.3.3 對數方程（Logarithmic Equations）
對數方程係指方程入面會有log嘅出現。
而解“可變為二次方程嘅對數方程”其實同解一般對數方程一樣，方法基本上係：
- 整到兩邊都係“log一夠嘢”
- 之後一齊整走個log
- 而整走個log之後就應該會得到一條二次方程
解說：
- 首先大家要熟對數嘅性質。詳細可睇返“3.3對數的性質”。
- 整個解方程嘅步驟如下：
\(\begin{align}
2log x – log(2x-1) &= 0 \\
log x^{2} &= log(2x-1) \quad \quad {\color{Red} \leftarrow }利用 log x^{a} &= a log x \\
x^{2} &= 2x – 1 \\
x^{2}-2x+1&=0 \\
x &= –1 \quad \quad {\color{Red} \leftarrow } 直接篤計數機
\end{align}\)
5.3.4 三角方程（Trigonometric Equations）
“可變為二次方程嘅三角方程”喺度唔講住。
- 等教完三角比嗰課再講。