理解有理數指數的定律
3.2 理解 有理數指數定律 (Understand the Laws of Rational Indices)
有理數指數定律 (Laws of Rational Indices) 同大家初中學嘅整數指數定律係一樣嘅，只係到高中時先講你知當中嘅指數除咗係數外，亦可以係其他如分數嘅有理數。
- 情形就好似小學生初初學“個位數相加”，之後再學“十位數相加”，之後再學“百位數相加”。
3.2.1 有理指數的定律 (Laws of Rational Indices)
有理指數定律如下 (連例題解說):
例： \(b^{2}\times b^{4} =b^{4+2}=b^{6}\)
例 ： \(\dfrac{b^{5}}{b^{2}} = b^{5-2}=b^{3}\)
例 ： \((x^{4})^{3}=x^{4\times 3\=x^{12})
例： \(y^{2}b)^{3} = y^{2\times 3}b^{3} = y^{6}n^{3}\)
例： \((\dfrac{r}{s})^{5} = \dfrac{r^{5}}{s^{5}}\)
例： \((pqr)^{0} = 1\)
留意無論pqr乘埋嘅結果係嚟，因為最終都有個0嘅指數，結果都會變成1。
例： \(x^{-5} = \dfrac{1}{x^{5}}\)
依條定律主要嘅用途係把數式中嘅指數變成正數 (因為題目一般都會要求只用正數嘅指數作為答案。
3.2.2 定律解說
上面睇落好似好多定律要背，但其實只要明白當中道理，要記嘅主要係：
\(\begin{align}
1. &\quad a^{m}\times a^{n} = a^{m+n} \\
2. &\quad (a^{n}b^{n})^{p} = a^{mp}b^{np} \\
3. &\quad a^{0} = 1 \\
4. &\quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \\
&\quad \dfrac{1}{a^{-n}} = a^{n}
\end{align}\)
“當中道理”係咁嘅：
- 首先要明白 \(a^{5} = 5個a乘埋\)。
- 而\(\begin{align}
&a^{5} \times a^{3} \\
&= (5個a乘埋) \times (3個a乘埋)
&= 8個a乘埋
\end{align}\) - 所以： 兩個“底數相同嘅變數”相乘時，將兩個指數相加（即 \(a^{m}\times a^{n} = a^{m+n}\)）。
- 同一道理： 兩個變數項相除時，指數相減。
- 而\(\begin{align}
- 另外，唔好以為 (a3)4 = a3+4 = a7
- (a3)4 唔係兩個變數項相乘！ 係a3自己乘自己4次！
\(\begin{align}
&= (a^{3})^{4} \\
&= (a^{3}) \times (a^{3}) \times (a^{3}) \times (a^{3}) \\
&= a^{3+3+3+3} = a^{12}\\
\end{align}\) - 所以： \((a^{m})^{p} = a^{mp}\)
- (a3)4 唔係兩個變數項相乘！ 係a3自己乘自己4次！