理解有理數指數的定義

3.1 理解 有理數指數 的定義 (Understand the Definitions of Rational Indices)

指數定律(Laws of Indices)大家由中一已經開始學。嚟到DSE，學嘅指數定律其實無變，變嘅只係指數嘅數字，題目嘅指數唔單可以係正負整數，亦可以係有理指數(Rational Indices,包括分數)。

大家只要用以往嘅手法去處理題目，佢嘅定義其實唔太重要。當然，明到就更係最好啦。

係未講有理指數嘅定義前，我哋先睇吓指數函數同開方根有咩關係”：

• \(7^{2}=7\times 7=49\)
• \(\sqrt{49} = \sqrt{7^{2}} = 7\)
  • 由此可見，當我哋要計“開方49係等於幾多 ”時，其實可以睇成係計“幾多嘅二次方等於49”。而答案當然係7。

3.1.1 \(\sqrt[n]{a}\)的定義

首先大家要接我哋地成日見嘅 \(\sqrt{25}\)其實係 \(\sqrt[2]{25}\)嘅簡寫 。

• 大家可以睇成因為 \(\sqrt[2]{　}\)太過常用，所以數學家就偷懶唔寫當中嘅2，就咁當 \(\sqrt{　}係\sqrt[2]{　}\)
  • 情形就好似“1x”通常會寫成“x”咁。
  •  
• 所以如果 \(y=\sqrt[2]{49}\)，即\( y^{2}= 49\)

咁大家不如又估吓 \(\sqrt[3]{8}\) 等於幾多。

• 按上面對開方根符號嘅解釋，
  •  \(y=\sqrt[3]{8}\) 即 \( y^{3}= 8\)
• 所以答案係 2。
  • 當然，大家可以用計數機去驗算一吓。
  • 如唔最識得用計數機計㩒，大可請教吓同學或老師！

如果明白上面講嘅嘢，咁大家應該都會明白 ：

•  \(\sqrt[n]{a}\) 嘅定義係 “計算一個\(y\)值使 \(y^{}=a\)”。

如果真係睇唔明個定義都唔緊要，你只要有個概念 \(點解\sqrt[3]{8}=2\) 就可以了。

3.1.2 \(a^\tfrac{1}{n}\) 的定義 (Rational Indices 1/n)

\(a^\tfrac{1}{n}\) 嘅定義好簡單：

• \(a^\tfrac{1}{n}＝\sqrt[n]{a}\) 

§ 唔該大家肯定自己識得點用部計數機計到 \(\sqrt[3]{27}=3。

3.1.3 \(a^\tfrac{m}{n}\) 的定義 (Rational Indices m/n)

\(a^\tfrac{m}{n}\) 嘅定義好簡單：

• \(a^\tfrac{m}{n}＝(a^\tfrac{1}{n})^{m}\)