Properties of Logarithms » 指數函數及對數函數 » DSE Maths筆記

3.3 理解對數的定義及其性質 (Understand the Definition and Properties of Logarithms)

好多同學都覺得對數好難，主要原因我諗係因為同學們根本唔明白對數係咩、好少見、好少操。

而喺依度，我會教大家用聯想法嚟去理解及記住對數的定義及性質(Properties of Logarithms)。咁做起同對數相關嘅題目，大家就會覺得易好多。

要明白同記得對數，我發覺最好係先明白以下嘅“聯想題”：

只要你記得依個聯想法，睇埋下邊嘅講解，日後當要計對數嘅題目時，一攞部計數機㩒兩吓，你就會記得對數嘅定義和對數嘅性質(Properties of Logarithms)。

從上面嘅“聯想題”，我希望你會覺得log同“10嘅幾多次方”係有關嘅。

睇返“聯想題”：

由以上嘅講解，大家應可“推論”到對數函數（log x）嘅定義：

如果仲唔明其實又未必好大件事(除非你期望自己數學考到5*/5**)。最緊要記得點用計數機計到 log 10 = 1，log 100 = 2，log 1000 = 3……

其實上面講嘅 log x 係一個簡化咗嘅對數寫法。

“正統”嘅對數寫法係有一個“底”(base)嘅。
- 當個底無寫出嚟嘅時候，個底係10。
- 即 log x 其實可寫作 \(log_{10}x\)
- 至於點解唔寫係10，我只可以講係數學家們嘅共識/習慣，可能係因為我地用開十進制。

對數函數 \(log_{a}x\)嘅定義係:

如 \(x = a^{y}\)，則 \(log_{a}x = y\)
- 當中個a就係個底。
- 如個同上面log x嘅定作比較，好容易好會發現其實只係張個10變咗做a。

例子： 2³ = 8，　所以　log₂ 8 = log₂ 2³ = 3

我地計對數函數嘅題目時，比較淺嘅題目入面對數嘅底都係10。所以喺度先講底係10嘅“對數性質”（其實只係喺條式度我哋唔駛寫個“底”）。

\(log 1 = 0\)
\(log 10 = 1\) …. 如此類推
\(log (MN) = log M + log N \)
聯想: 兩個數乘咗先至log = 分別log咗兩個數之後再加
\(log\dfrac{M}{N} = log M – log N\)
聯想: 兩個數除咗先至log = 分別log咗兩個數之後再減
\(logM^{k} = k log M\)
留意 \(logM^{k} 同 (logM)^{k}\) 嘅意思係唔同嘅。
聯想: 兩個數除咗先至log = 分別log咗兩個數之後再減

咁如果個底係a，“對數性質”就會變成以下咁：

\(log_{a}1 = 0\)
\(log_{a}10 = 1\) …. 如此類推
\(log_{a}(MN) = log_{a} M + log_{a} N \)
聯想: 兩個數乘咗先至log = 分別log咗兩個數之後再加
\(log_{a}\dfrac{M}{N} = log_{a} M – log_{a} N\)
聯想: 兩個數除咗先至log = 分別log咗兩個數之後再減
\(log_{a}M^{k} = k log_{a}M N\)
留意 \(log_{a}M^{k} 同 (log_{a}M)^{k}\) 嘅意思係唔同嘅。
聯想: 兩個數除咗先至log = 分別log咗兩個數之後再減
\(log_{b}M = \dfrac{log_{a}M}{log_{a} b}\)

§ 大家要特別留意吓上面第6個性質。佢係“對數轉底”嘅公式（即係將對數函數嘅底又一個值換成另一個值）。