判別式

1.5 理解二次方程的 判別式 與其根的性質之關係 （Understand the Relations between the Discriminant of a Quadratic Equation and the Nature of its Roots）

1.5.1 判別式 與其根的性質之關係

要100%明白 判別式 與其二次方程的根的性質，大家要先明白開方根 \(\sqrt{\quad}\)嘅性質。

• 首先請大家用計數機計吓以下嘅數值：
  • \(2+\sqrt{9}=\underline{\quad\quad }\).
    \(2-\sqrt{9}=\underline{\quad\quad }.\)
  • \(2+\sqrt{0}=\underline{\quad\quad }.\)
    \(2-\sqrt{0}=\underline{\quad\quad }.\)
  • \(2+\sqrt{-3}=\underline{\quad\quad }.\)
    \(2-\sqrt{-3}=\underline{\quad\quad }.\)
    上面兩題因為有計到“Math Error”係正常嘅！
  • 我諗大家都注意到開方根入面嘅數值會點影響計出嚟嘅答案。

根據求根公式，\(\quad\quad x = \tfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

• 假如我哋設  \(\Delta=b^2-4ac\)，咁方程嘅兩個根就係：
  \(\quad x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad 或 \quad x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
• 留意，如果：
  • ∆＝0，“\(-b+\sqrt{\Delta}\)”同“\(-b-\sqrt{\Delta}\)”都會變成“－b”。咁嘅話
    • 兩個根都會等於“－b / 2a”。
  • ∆＞0，“\(-b+\sqrt{\Delta}\)”同“\(-b-\sqrt{\Delta}\)”就會唔一樣
    • 即係兩個根會唔相等。
  • ∆＜0，\sqrt{\Delta} 係計唔到嘅
    • 我哋會話“方程沒有實根”（實根=實數的根，例如1.1, \(sqrt{2}\)。

總結：

• “根的性質”係講緊兩個根是否存在，同埋係唔係一樣
• \(\Delta=b^2-4ac\) 係叫做“判別式”（discriminant）
• 根據判別式嘅大細(正、負、零)，我哋可以知道根嘅性質：
  • Δ > 0時，方程有兩個不同的實根 (2 unequal real roots)
  • Δ = 0時，方程有兩個相同的實根 (2 equal real roots)
  • Δ < 0時，方程沒有實根 (no real roots)