理解三角函數、其圖像及性質
14.1 理解 三角函數 (正弦、餘弦和正切函數)、其圖像及其性質（Understand the Trigonometric Functions Sine, Cosine and Tangent, and their Graphs and Properties）
講明係”續三角學”, 所以一切都係同 三角函數 (正弦 sine、餘弦 cosine、正切 tangent)有關。
14.1.1 基本 三角函數
喺初中嘅時候大家已經學咗“喺直角三角形入面嘅三角函數”。
\(sin\theta = \dfrac{對邊}{斜邊}\)
\(cos\theta = \dfrac{鄰邊}{斜邊}\)
\(tan\theta = \dfrac{對邊}{鄰邊}\)
- 有D書會寫 sinθ= b / c。
但除非你記埋邊條邊叫“a”、邊條叫“b”，否則就好易會錯！
我就建議大家記 \(sin\theta = \tfrac{對邊}{斜邊}\) 等嘅式。
數學能力較差嘅同學一般都覺得三角比好難。我相信主要係因為大家唔明到底咩叫sin、cos同tan。
- 其實三角函數就係話你知喺一個直角三角形入面D邊嘅比例。
- 我諗如果我問“ \(\dfrac{對邊}{斜邊} = \dfrac{1}{2}，而對邊嘅長度係2cm，咁斜邊有幾長呢?”，諗大家都應該識得計。
喺三角比入面，我哋只不過要記得埋D定義，然後睇返要用邊條式咩幫哋計條數。大家可以睇吓以下例子：
題目提及“斜邊同對邊”，而相關嘅三角函數係 sin (因為 \(s\theta = \tfrac{對邊}{斜邊}\))。所以我哋要用cos這函數。
把40°及相應邊長代入公式，可得而得到“cos40° = 對邊/2”
\(\begin{align}
sin40^{\circ} &= \dfrac{對邊}{2}\\
對邊 & = 2sin40^{\circ} \\
&= 2 \times 0.6428 \\
&=1.29cm
\end{align}\)
14.1.2 廣義角三角函數
上面嘅“基本定義”係講緊直角三角形入面嘅三角比（即兩條邊嘅邊長比）。因此代入函數嘅角必定喺細過90°。
而“廣義角三角函數”其實係同坐標幾何好有關係嘅。
- 我哋先考慮將一個直角三角形放入坐標系統度。
- 代入三角函數嘅角θ會係由x-軸正方開始、逆時針度起。
- 而三角形嘅邊長就會由P點嘅坐標而決定。
- 而P點與原點(0, 0)的距離為R，可以用畢氐定理嚟計到。
依家考慮移動P點至(-8, 6)嘅位置。
- 留意θ已經大過90°。
- 利用P點嘅位置，我哋照畫個直角三角形出嚟。
留意當中有一隻角係mark住咗嘅。
廣義角三角函數可以話係當θ大過90° 時，我哋用右圖中嘅正角三角同P點嘅坐標嚟計D三角函數。因此：
- sinθ= -6/10 = -0.6 （留意P嘅x-坐標係負，而R就永遠係正。）
- cosθ= 8/10 = 0.8 （留意P嘅y-坐標係正。）
- tanθ= 8/-6 = -1.33
- 大家可以用143.13°，用計數機計吓佢嘅sin，cos同tan。
以上就係“廣義角三角函數”。
- 其實大家最緊要係知道三角函數所代嘅角係可以大過90° （其實係可以係負度數）。
- 而個三角比嘅值亦可以係負數。
14.1.3 廣義角三角函數的正負值
繼續上面最後提到嘅兩點
- 代入三角函數嘅角可以係一個負嘅度數。
- 負度數只係代表我哋由x-軸正方順時針咁量度隻。
- 依點同“如果正數代表向左、咁負數就代表向右”差不多。
- 三角比嘅值可以係負數。
右圖總結咗喺唔同象限入面嘅角代入D三角函數時，邊個嘅值會喺正。- Ｃ：只有cos係正
- Ａ：所有都會係正
- Ｓ：只有sin為正
- Ｔ：只有tan為正
- 要記住個次序，D書通常有兩個方法：
- 記住“cast”依個字（cast即係我哋講嘅演員陣容“卡屎”）。
- 記住“Add Sugar To Coffee”
- 130° 係喺第二象限，第二象限係“Ｓ”（即sin）。
- 所以三sin130° 嘅值會係正
- 而cos130° 同tan130° 嘅值係負。
- 300° 係喺第四象限，第四象限係“C”（即cos）。
- 所以三cos300° 嘅值會係正
- 而sin300° 同tan300° 嘅值係負。
14.1.4 三角恆等式
初中嘅時候我哋已經學咗兩條最重要嘅三角恆等式：
- \(sin^{2}\theta + cos^{2}\theta = 1\)
- \(tan\theta = \dfrac{sin\theta}{cos\theta}\)
而喺依課度因為我哋學咗“廣義角三角函數”，所以要學埋其他嘅三角恆等式。
- 所謂“其他”嘅三角恆等式其實係“一連串”用嘅做化簡用嘅式。
- 例子：sin(180°–θ) = sinθ、sin(90°–θ) = cosθ
- 如果想知有幾多條咁嘅恆等式，大家可以睇返書。
- 先留意依D恆等式係有固定嘅形式：
- 左面係 XXX (a +/-θ) 當中XXX為sin/cos/tan；a=0°/90°/180°/270°/360°
- 右面係: +/- YYYθ 當中 XXX 為三角函數sin/cos/tan
我自問就背唔到咁多條式。反而我係用以下嘅“方法”嚟睇返條恆等式嘅“右方”出嚟：
- 先利用左邊嘅“角度”去決定右邊的YYY：
- 如果 a=0°/180°/360°：
YYY 會等於 XXX，即係照抄個三角比函數去右邊 - 如果a= 90°/270°：
咁 “有co變冇co, 冇co變有co”，
即係：sin 變 cos, cos 變 sin, tan 變 1/tan (即 cot)
- 如果 a=0°/180°/360°：
- 最後係決定右邊嘅正負號。方法係：
- 先唔理θ係幾多度都好,當佢係好細。
- 利用 “CAST” 嚟於定左方嘅 XXX(a +/-θ) 係正定負
- 如果係負,右邊就會係 “- YYYθ”
- 如果係正,右邊就會係 “YYYθ”
§ 只要練習多幾次、明咗個方法，我總覺得咁樣好過背咁多條公式。
解說：
- 因見到270°, 所以右邊嘅三角函數係 cosθ (因為左邊是sin)
- 270°+θ係喺第四象限入面，而sin喺度係負嘅。所以右邊係”–”
所以 sin(270°+θ) = – cosθ
解說：
- 因見到360°, 所以右邊嘅三角函數唔駛變，即係 cosθ
- 360°–θ係喺第四象限入面，而cos喺度係正嘅。所以右邊係”+”。
所以 cos(360°–θ) = cosθ
14.1.5 三角函數圖像及其性質
- 之前我哋已經喺“9.1 描繪及比較不同函數的圖像”中見過三角函數圖像：
- y = sinx （下圖中的藍線）
- y = cosx （下圖中的紅線）
- y = tanx （下圖中的綠線）
喺學三角函數圖像嘅時候，
- 大家最緊要係知道個圖像嘅極大值、極小值同週期性。
- 至於圖像嘅樣，其實只要我哋有個印象、再利用計數機試一D點出嚟，咁就可以畫返出嚟。
y = sinx 圖像
- y = sinx嘅圖像係一個波浪形。
- 我哋可用計數機代x=0°, 90°, 180°, 270°, 360°計出相應嘅y值，咁就可以畫到圖像。
- 圖像的極大值為1，極小值為 –1。
- 所以我哋會話 – 1 ≤ sinx ≤ 1。。
- 圖像的週期性係360°。
- 即係每過360°圖就會重覆。
y = cosx 圖像
- y = cosx嘅圖像都係一個波浪形。
- 同樣地，我哋可用計數機幫手畫圖像。
- 留意當x=0° 時，y = 1。
- 圖像的極大值為1，極小值為 –1。
- 所以我哋會話 – 1 ≤ cosx ≤ 1。。
- 圖像的週期性係360°。
y = tanx 圖像
- 唔知點形容y = tanx嘅圖像都係一個波浪形。
- 同樣地，我哋可用計數機幫手畫圖像。
- 留意當x=89.999° 時，y 係非常大。所以當x=90° 時，y 係無限大。
- 但當“過咗90° 時”，y會變成非常負。
- 圖像嘅極大值同極小值係“+∞”同“–∞”。
- 圖像的週期性係180°。