4. 多項式 (Polynomials)

4.1  定義

多項式是代數式的一種，由變數 (variables) 和數字經由“加、減、乘”運算組合而成的式子，並且變數中的指數必須為正整數(positive integers)及不得在根號、指數、分母等中出現。

• • 以下全部都係多項式：
    • \(3x + 5 \)
    • \(4a – 21xy + y^{3} \)
    • \(\frac{4xy^{3}}{5}\)
  •  以下全部都唔係多項式：
    • \(\frac{1}{x+5}\)
    • \(3+\sqrt{y}\)

4.2  詞彙

喺描述一個多項式嘅時候，經常會出現以下嘅詞彙：

• • 係數：coefficient
  • 常數項：constant term
  • 次數：degree
  • 項數：number of terms
  • 遞降序：descending order
  • 遞升序：ascending order

例1：    考慮多項式 \(3x^{4} – \frac{1}{2}x^{3} + 4x^{2} – x + 10\)

• • 這多項式 是按變數x的降冪排列
  • 項數：5
  • 次數：4
  • \(x^{2}\)的係數：4
  • \(x\)的係數：-1
  • 常數項：10
  • 如按升冪排列，多項式則應寫成
    \(10 – x + 4x^{2} – \frac{1}{2}x^{3} + 3x^{4}\)

4.3 多項式的加減

當要將兩個多項式相加(或相減)時，其實要做嘅嘢只係將同類項相加(或相減)。而所謂嘅同類項，係指兩個項數中嘅變數(包括指數)係樣嘅。

• 同類項相加（或相減），異項不能相加（或相減）；
  例：
  \(\begin{align}& a + 2a + 4b \\
  & = 3a + 4b\end{align}\)
  
• 拆括號時，若括號前為＋，則拆括號後每個項的符號不變；
  例：
  \(\begin{align}& (2a + 3xy) + (4a – xy) \\
  & = 2a + 3xy + 4a – xy \\
  & = 6a + 2xy
  \end{align}\)
• 拆括號時，若括號前為－，則拆括號後每個項的正負號要倒轉，即＋變－，－變＋。
  例：
  \(\begin{align}& (2a + 3xy) – (4a – xy) \\
  & = 2a + 3xy – 4a + xy \\
  & = -2a + 4xy
  \end{align}\)

4.4 多項式的乘

將兩個多項式相乘嘅時候，基本上可以按以下嘅步驟先把兩個相乘嘅多項式展開：

1. 先指住第一個多項式嘅第一項。
2. 將被指住嘅項同後面括號括住嘅多項式入面嘅每一個項相乘。
   • 乘嘅時候數字還數字乘
   • 唔同嘅變數（英文字母）就同反相同嘅變數按指數定律相乘。
3. 如果指住嘅唔係第一個多項式入面嘅最後一項，咁指住後面跟住嗰項，重覆第2步。
   注意：如果兩個多項式分別有m個同n個項，咁展開後應有 \(m \times n\)咁多個項。
4. 最後，將同類項加埋一齊。

例：