不同情況對數據的離差之影響

17.7 探究不同情況 對數據的離差之影響 (Exploring the Effect of the Different Operations on the Dispersion of the Data)

探究不同情況 對數據的離差之影響 其實係講緊

• 首先對一組現有數據進行不同的修改(即不同情況)
• 之後睇吓數據嘅離差同原先的有何分別

當中”不同情況”包括:

• 在數據中加入或剔除一項數據
• 對所有數據一齊“加”或“減”同一個數值（其實“減”即係“加一個負數”）
• 對所有數據一齊“乘”或“除”同一個數（其實“除”即係“乘一個細過1嘅數”）
• 對所有數據又乘又加。

為方便探究不同情況對數據離差嘅影響，喺依節入面我哋首先當有一組由細排到大嘅數據喺度。

x₁，x₂，x₃，x₄，… Q₁，… Q₃，…… x_n

• 數據嘅分佈域 = x_n – x₁
• 四分位數間距 = Q₃ – Q₁
• 另設：
  • 平均數 = \(\bar{x}\)
  • 標準差 = \(\sigma\)

17.7.1  在數據中加入一項數據

當喺數據中加入一項數據嘅時候，我哋要留意嘅主要係數據排喺咩位度。

• 除非新數據嘅值係大過原有“最大”或細過同“最細”嘅數據，否則分佈域唔會受到影響。
• 而加入新數據後，四分位數嘅位置同值都可能有變。但一般嚟講，如果原有嘅數據量已經好多，咁多一個數據對四分位數唔會有明顯嘅影響。
• 至於對標準差嘅影響，我哋要先睇返條公式：
  • 標準差 (standard deviation)
    \(\sigma=\sqrt{\dfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+…+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}} \)
  • 方差 (variance)
    \(s = \sigma^{2}= \dfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+…+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n} \)
  • 如果“新數據同平均數嘅距離二次方”（即 ）大過方差，咁新嘅方差同新嘅標準差就會大咗。
    • 唔明？仲記唔記得講過方差係“數據同平均數嘅距離二次方”嘅平均數？咁如果新嘅一個數係大過舊方差，咁新方差咪會大咗囉！

17.7.2 在數據中剔除一項數據

當喺數據中剔除一項數據嘅時候，我哋要留意嘅主要係數據排喺咩位度。

• 除非剔除數據嘅值係唯一“最大”或“最細”嘅數據，否則分佈域唔會受到影響。
• 而剔除一項數據後，四分位數嘅位置同值都可能有變。但一般嚟講，如果原有嘅數據量已經好多，咁少一個數據對四分位數唔會有明顯嘅影響。
• 至於對標準差嘅影響，用返前面嘅推論方法。
  • 如果“剔除嘅數據同平均數嘅距離二次方”（即 ）大過方差，咁新嘅方差同新嘅標準差就會細咗。（留意係細咗！）
    • 唔明？你諗吓如果喺咁多個 當中剔除一個較大嘅值，咁最後計返咁多個 嘅平均數（即方差）係咪會細咗！
    • 仲唔明？ 咁你可以諗吓“有集中嘅數據同分散嘅數據喺一齊，咁如果我將較集中嘅數據剔除，咁D數據係咪會變得更分散”。

17.7.3 對數據的每一項加上一個共同常數

當所有數據都加同一個數值（例如a ）嘅時候，數據會變成：

x₁+a，x₂+a，x₃+a，x₄+a，… Q₁+a，… Q₃+a，…… x_n+a

• 新數據嘅分佈域 = (x_n+a) – (x₁+a) = x_n – x₁
  • 即分佈域不變
• 新數據嘅四分位數間距= (Q₃+a) – (Q₁+a) = Q₃ – Q₁
  • 即四分位數間距不變
• 新數據嘅平均收 = \(\bar{x}+a\)
• 至於標準差，我哋要先睇返條公式：
  \(\sigma=\sqrt{\dfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+…+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}} \)
  • 留意“每個數都 +a”，而“平均數亦 +a”，所以每個 \((x_{i}-\bar{x})\)嘅冇變到。
  • 因此標準差嘅值最終都有改變。

總結：

• 將所有數據加同一個數係唔會改變數據組嘅分佈域、四分位數間距、標準差。
• • 其實咁都好合理。因為所有數據一齊郁，佢哋之間嘅“距離”都冇變，所以離差都唔會有變。

17.7.4 對數據的每一項乘以一個共同常數

當所有數據都乘同一個數值（例如b ）嘅時候，數據會變成：

bx₁，bx₂，bx₃，bx₄，… bQ₁，… bQ₃，…… bx_n

• 新數據嘅分佈域 = bx_n – bx₁ = b(x_n – x₁) = b × 舊嘅分佈域
• 新數據嘅四分位數間距= bQ₃ – bQ₁ = b(Q₃ – Q₁) = b × 舊嘅四分位數間距
• 新數據嘅平均收 = b × 舊嘅平均數 = \(b\bar{x}\)
• 至於標準差，由條公式我哋亦可推論出：
  • 新數據嘅標準差 = b × 舊嘅標準差

總結：

• 將所有數據都乘同一個數值，新數據組嘅分佈域、四分位數間距、標準差亦要乘返同一個數值。
• • 大家可以咁樣去理解：當每個數據被倍大或者縮小嘅時候，數據間嘅距離（即離差）亦會被倍大或縮小。

17.7.5 對數據的每一項“又乘又加”

有關將數據又乘又加嘅影響，我哋可以咁睇。

• 唔理你係“先乘b後加a”定“先加a後乘b”，其實效果都係“乘完b再加一個數”。
  • 咁係因為 b ( x + a) = bx + ab = bx + c
• 而“乘完b再加一個數”當中只有“乘b”會對數據組離差有影響。
• 根據前面所講嘅嘢，我哋可以推論出：
  • 新數據嘅分佈域 = b × 舊嘅分佈域
  • 新數據嘅四分位數間距= b × 舊嘅四分位數間距
  • 新數據嘅平均收 = \(b\bar{x} + 一個數\)
    • 上面嘅“一個數”係咩就要睇係“先乘b後加a”定“先加a後乘b”。
  • 新數據嘅標準差 = b × 舊嘅標準差