有理函數的加減乘除
4.5 進行 有理函數的四則運算 (Perform Additions, Substraction, Multiplication and Division of Rational Functions)
§有理函數係指一個以多項式為分母嘅分數。
當大家對分數的四則運算、多項式展開、因式化沒有太大問題時， 有理函數的四則運算 (Rational Functions Arithmetic) 基本上係煩而唔係難。而DSE卷二(MC)亦都會出多項式分數加滅嘅題目，咁我建議都係學識佢好D。
4.5.1 有理函數的加及減
有理函數的四則運算 中的加和減其實同“分數加減”大同小異。
- 當中最重要嘅技巧係“通分母”。
- 而“通分母”當中又要搵HCF同LCM。
- 依個亦都係點解我哋之前要學“搵多項式嘅最大公因式同最小公倍式”
我地先睇普通分數加減的例子，之後再睇有理函數分數的加減。
\(\begin{align}
&\dfrac{3}{54}-\dfrac{2}{45} \\
&=\dfrac{3}{54} \times \dfrac{5}{5} -\dfrac{2}{45} \times \dfrac{6}{6}\\
&=\dfrac{15}{270}-\dfrac{12}{270}\\
&=\dfrac{15-12}{270}\\
&= \dfrac{3}{270} \\
&= \dfrac{1}{90}
\end{align}\)
明白以上嘅分數相減之後就應該可以明白“有理函數的加及減”係點做嘅：
\(\begin{align}
&\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{1}{a+1} \\
&=\dfrac{a(a+1)}{(a-1)(a+1)}-\dfrac{1(a-1)}{(a+1)(a-1)}\\
&=\dfrac{a^{2}+a-(a-1)}{(a-1)(a+1)}\\
&= \dfrac{a^{2}+a-a+1}{(a-1)(a+1)} \\
&= \dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}
\end{align}\)
有理函數的加及減應該唔會出得太深。
- 最多分母度會係一個“二次方”嘅多項式。
- 遇到咁嘅情形，大家就先要將分母做因式分解。
- 詳細嘅做法可以睇返1.1.3 點做因式分解
- 遇到咁嘅情形，大家就先要將分母做因式分解。
4.5.2 有理函數的乘及除
有理函數的乘其實同分數與分數相乘大同小異。
- 當中最重要嘅技巧係“約數”。
- 其次就係將多項式做因式分解（方便約數）。
有理函數的除其實亦同分數除分數大同小異。
- 當中最重要嘅技巧係利用“將除數上下癲倒”將數式由分數除分數變成分數乘分數。
\(\begin{align}
&\dfrac{5}{54} \div \dfrac{45}{2} \\
&=\dfrac{5}{54} \times \dfrac{2}{45} \\
&=\dfrac{1}{27} \times \dfrac{1}{9} \\
&= \dfrac{1}{243}
\end{align}\)
明白以上嘅分數相除之後就應該可以明白“有理函數的乘及除”係點做嘅：
\(\begin{align}
&\dfrac{x-2}{x^{2}+x-6} \div \dfrac{5}{x^{2}+5x+6} \\
&=\dfrac{x-2}{x^{2}+x-6} \times \dfrac{x^{2}+5x+6}{5} \\
&=\dfrac{x-2}{(x+3)(x-2)} \times \dfrac{(x+3)(x+2)}{5} \\
&=\dfrac{1}{1}\times\dfrac{x+2}{5}\\
&=\dfrac{x+2}{5}
\end{align}\)