最大公因式和最小公倍式

4.4 理解 最大公因式和最小公倍式 的概念 (Understand the Concepts of HCF & LCM of  Polynimials)

HCF & LCM 其實大家喺小學已經學咗。唔信? 等我地先嚟溫一溫D名:

• HCF = Highest Common Factor (最大公倍數/最大公倍式)
• LCM = Lowest Common Multiple (最小公倍數/最小公倍式)
• GCD = Greatest Common Divisor, 即係HCF

計算多項式的最大公因式和最小公倍式 (HCF & LCM of Polynomial) 重點在於要先利用因式定理把多項式因式化(factorization)。之後就同計算兩個數值的LCM和HCF一樣，過程唔係難而係煩。可能就因為咁，多項式的最大公因式和最小公倍式被列入非基礎課題。

留意:  HCF (Highest Commom Factor) 亦可以叫做 Greatest Common Divisor (GCD)。

4.4.1    最大公因數和最小公倍數（HCF & LCM）

唔知大家仲記唔記得小學或者初中學過“最大公因數 Highest Common Factor”（HCF）同“最小公倍數　Lowest Common Multiple”（LCM）呢？

例如54同45嘅HCF係9，LCM係270。點解？

• 要搵HCF同LCM，我哋要先搵54同45咗因數。
  • 54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 3³
  • 45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
• HCF就係將54同45都“一齊有”嘅因數攞出嚟。
  • 54有“三個3”，45有“兩個3”，所以“一齊有”嘅係“兩個3”。。
  • 所以 HCF = 3² = 9
• LCM就係將54同45嘅因數“有大食大”咁都攞一次出嚟。
  • 54同45當中有出現過嘅因數有2，3同5。
    • 2最多出現一次，3最多出現三次，5最多出現一次。
  • 所以 LCM = 2 x 3³ x 5 = 270

4.4.2 多項式的最大公因式和最小公倍式

搵多項式嘅最大公因式同最小公倍式其實同搵數字嘅HCF、LCM大同小異。

• 我哋先要搵兩個多項式嘅因式（即係做因式分解）。
  • 當中如果個多項式係“三次方”嘅，咁我哋就要用之前學咗嘅因式定解。

為方便起見，以下嘅例子會當兩個多項式已經做咗因式分解。

例子： f(x) = (x – 1)(2x + 1)²(x + 2)
             g(x) = (x + 1)(2x + 1)(x + 2)
             求f(x)和g(x)的最大公因式和最小公倍式。

解答：

• 其實只要我哋當每一個括號都係一個“公仔”，利用搵數字嘅HCF同LCM嘅技巧，我哋會見到：
  • 最大公因式 = (2x + 1) (x + 2)
  • 最小公倍式 = (x – 1) (x + 1) (2x + 1)²(x + 2)
• 留意我哋係唔駛對答案做“拆括號”。