從不同角度理解函數f(x)的變換

9.4 從表列、符號和圖像的角度理解 函數的變換 (Understand the Transformation of the Function f(x) from Tabular, Symbolic and Graphical Perspectives)

函數的變換 其實係對一個函數f(x)進行一D數學上嘅“改動”而得出一個新函數。

• 至於新函數同舊函數嘅關係，我哋通常會基於新、舊函數嘅圖像嚟作比較。
• 喺依課入面，我哋會用嘅函數f(x) 都會係“x² – x – 6”。咁做係想大家可以由同一個函數出發而對函數作出變換。

9.4.1 函數的變換:上下移動 / 把圖像 y=f(x) 作上下移動（Translating the Graph Upwards/Downwards）

仲記唔記得我哋點用表列（即用下面個表）嚟幫我哋畫 y = x² – x – 6 嘅圖像？

如果我哋要將個圖像向上移四格，好明顯我哋要睇將每一個y值都“加4”。

• 如果用表列嚟表示，我哋就會有下面嗰表：

• 而新、舊嘅圖像就會好似下面幅圖咁：
  

• 用符號嚟表達嘅話，個新函數就係 f(x) + 4。

§總結：

• 如果將圖像 y = f(x) 上移k格，咁新函數圖像嘅符號式係 y = f(x) + k。
• 如果將圖像 y = f(x) 下移k格，咁新函數圖像嘅符號式係 y = f(x) – k。

9.4.2 把圖像 y=f(x) 作左右移動（Translating the Graph to the Left/Right）

如果我哋要將個圖像向左移兩格，好明顯新、舊嘅函數圖像如好似下面幅圖咁：

睇返舊函數嘅表列：

而根據個新函數嘅圖像，我哋可以見到新函數嘅表列係（我哋暫叫個新函數做 g(x)）：

假如我哋將新、舊函數嘅y值一欄一欄咁對齊（留意上面嘅表列嘅紅色的欄位），我哋會發現相應嘅x-值都係相差2。即：

g(0) = f(2)；
g(1) = f(3)；
g(2) = f(4)；

由此我哋可以推論出： g(x) = f(x + 2)

§ 總結：

• 如果將圖像 y = f(x) 左移k格，咁新函數圖像嘅符號式係 y = f(x + k)。
• 如果將圖像 y = f(x) 右移k格，咁新函數圖像嘅符號式係 y = f(x – k)。

§ 唔似得將圖像作上下移動，好多同學都會將f(x + k)同f(x – k)撈亂。我建議大家要練習吓用以下嘅想法去作出判斷：

• 想像舊嘅圖像經過一點(5, 8)。咁即係當x=5時，y = f(5) = 8。
• 如果新函數g(x)嘅圖像要向左移2格，咁即係話當x = 3時，y = g(3) = f(5) = 8。
  • 咁即係話 g(3) = f(3 + 2)，所以 g(x) = f(x + 2)
• 如果新函數h(x)嘅圖像要向右移3格，咁即係話當x = 8時，y = h(8) = f(5) = 8。
  • 咁即係話 h(8) = f(8 – 3)，所以 h(x) = f(x – 3)
• 當然，如果你話“我唔會記錯嘅！”，咁你的確只要記住上面個總結就冇問題。

9.4.3 把圖像 y=f(x) 沿y-軸作伸展或縮少 （Stretching/Compressing the Graph across y-axis）

沿y-軸作縮少（例如縮少一半）其實就好似我哋用哈哈鏡將幅圖上下壓扁。

• 如果用表列嚟表示，我哋就會有下面嗰表：

• 而新、舊嘅圖像就會好似下面幅圖咁：
  

• 用符號嚟表達嘅話，個新函數就係 f(x)/2 （亦可以話係 (1/2)f(x)）。

唔難想像如果我哋將幅圖“沿y-軸作伸展一倍”，個新函數會係 2f(x)。

§ 總結：

• 如果將圖像 y = f(x) 沿y-軸作伸展或縮少，咁新函數圖像嘅符號式係 y = kf(x)。
  • 當 0 < k < 1時，圖像就會作縮少。
  • 當 k > 1時，圖像就會作伸展。

9.4.4 把圖像 y=f(x) 沿x-軸作伸展或縮少 （Stretching/Compressing the Graph across x-axis）

同“沿y-軸作伸展”相似，“沿x-軸作伸展”（例如伸展一半）就係將幅圖左右咁壓扁。

• 首先我哋睇吓下面嗰表（記住f(x) = x² – x – 6）：

• 而新、舊嘅圖像就會好似下面幅圖咁:
  

留意舊圖嘅每一點同x-軸嘅距離就好似放大咗一倍咁（如圖中綠色箭咀所示）。

• 用符號嚟表達嘅話，個新函數就係 f(x/2)。

唔難想像如果我哋將幅圖“沿x軸作縮少一倍”，個新函數會係 f(2x)。

§ 總結：

• 如果將圖像 y = f(x) 沿x-軸作伸展或縮少，咁新函數圖像嘅符號式係 y = f(kx)。
  • 當 0 < k < 1時，圖像就會於水平方向作放大。
  • 當 k > 1時，圖像就會於水平方向作縮少。

9.4.5 把圖像 y=f(x) 沿x-軸或y-軸作反射 （Reflecting the Graph in x-axis/y-axis）

“反射”亦可以被形容為“沿住x-軸上下倒轉”或“沿住y-軸左右反轉”。

• 我哋先考慮以下嘅表：

• 新、舊嘅圖像就會好似下面幅圖咁：
  
• 由此可見“沿x-軸作反射”後嘅新函數圖像係 y = – f(x)。

唔難想像如果我哋將幅圖“沿y-軸作反射”，個新函數會係 f(– x)。

§ 總結：

• 如果將圖像 y = f(x) 沿x-軸作反射，咁新函數圖像嘅符號式係 y = – f(x)。
• 如果將圖像 y = f(x) 沿y-軸作反射，咁新函數圖像嘅符號式係 y = f(– x)。

其實反射可以話係以前學過咗“把圖像 y=f(x) 沿x-軸或y-軸作伸展或縮少”嘅一個特別情形。

• 當中y = k f(x)及y = f(kx) 嘅k 值係 “–1”。
• 再推論落去，我哋會發現如果k值係“–2”， 咁y = -2 f(x) 其實係會有一個“沿x-軸作反射後再沿y-軸伸展一倍”嘅效果。
  • 這亦可以睇成係因為“–2 = (-1) x 2”。