二次函數的極大值和極小值
2.4 以代數方法求 二次函數的極大值和極小值 (Find the Max and Min Values of Quadratic Functions by the algebraic method)
以代數方法求 二次函數的極大值和極小值 (Max and Min Values of Quadratic Functions) 其實係指”配方法”。而配方法其實只係 \((a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) 嘅逆向操作。只要留意一、兩個tricky位，題目一般都唔太難。
不過依部份係始終係非基礎課題的課題。數學比較差嘅同學可能會怕深 (其實又唔係太深姐)。所以先教一個比較簡單嘅方法：
- 二次函數嘅圖像個樣係“一隻碗”，因應開口嘅方向，個圖像一係就有極大值、一係就有極小值（唔會兩個都有）。
- 而依個極值會發生喺對稱軸 \(x = \dfrac{–b}{2a}\)上。
- 因此要求到個極值，我哋要將\(x = \dfrac{–b}{2a}\)嘅值代入函數入面就可以計到個最大/最小值。
考慮二次函數圖像 y = -x2 + 6x – 10，因x2的系數為負數，故開口向下，有極大值。而圖像的極大值發生於對稱軸上。
對稱軸為
\(x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-6}{2(-1)} = 3\)
當x = 3時，
y = -(3)2 + 6(3) – 10
y = -1
∴ f(x) 的極大值 = -1
（極大值都可以係負嘅!）
2.4.1 配方法（Method of Completing the Square）
配方法用咗以下兩條恆等式：
- (x + a)2 = x2 + 2ax + a2
- (x – a)2 = x2 – 2ax + a2
留意以下三點:
- 右方的x2前的數字（即個“係數”）一定係“1”。
- 左方括號中x後的符號數值就是把右方x項的數值“除2”。
- 唔理左方括號中嘅a係正定負都好，右方最尾的數字一定係“+a2 ”
而我哋用配方法做上面例子嘅筨案會好似下面咁：
\(\begin{align}
&f(x) \\
&= -x^{2}+6x-10 \\
&= – (x^{2}-6x)-10 \quad \quad {\color{Red} \leftarrow 要抽-1出嚟，令x^{2} 前的數變成1} \\
&= – [x^{2}-6x+(6/2)^{2}-(6/2)^{2} ]-10 \quad \quad {\color{Red} \leftarrow 加+a^{2}-a^{2}入條式度} \\
&= – [x^{2}-6x+3^{2} ]+3^{2}-10 \\
&= -(x-3)^{2}-1 \quad \quad {\color{Red} \leftarrow 利用恆等式將頭三項變成一個完全平方} \\
\end{align}\)
因 – (x – 3)2 必定是細過或等於0，所以f(x)的極大值 = –1