等比數列的無限項求和公式

7.6 探究某些等比數列的 無限項求和公式 及使用該公式解有關問題（Explore the General Formulae of the Sum of Infinity of Certain Geometric Sequences and Use the Formulae to Solve Related Problems.）

7.6.1 等比數列的 無限項求和公式

等比數列的無限項和即係將一個等比數列嘅項數無窮無盡咁一直加落去。而 無限項求和公式 正正就是我地要用嘅公式。

依個概念雖然好似好抽像，但其實喺現實生活中都有好多有關嘅例子：

• 先想像枱面上有一個蛋糕。
• 小明每小時會將枱面上嘅蛋糕切開成兩等份並把其中一半吃掉。
  • 因此，小明第一次會吃掉1/2個蛋糕、剩下1/2個。
  • 第二次，小明把剩下的1/2個蛋糕切開、把其中一半吃掉（即吃掉1/4個蛋糕）。
  • 第三次，小明把剩下的1/4個蛋糕切開、把其中一半吃掉（即吃掉1/8個蛋糕）。
  • 以下係小明每次食咗幾多蛋糕嘅記錄：
          1/2, 1/4, 1/8, 1/16
    以上嘅數字剛好是一個等比數列（首項為1/2，公比為1/2）。
• 咁如果我問你：“假如小明一路係咁食落去，到底最後佢會唔會食到兩個蛋糕呢？”
  • 我諗你會答“唔會”。
  • 咁又點解呢？…..你可能會答“根本就只係得一個蛋糕…..”。
  • 但根據上次所講，小明每次只係食枱面上嘅蛋糕嘅一半，咁即係每次小明都會剩返D留返下次食。咁即係永遠都食唔完，咁一路食落去，小明食蛋糕嘅總數量咪會一路大落去….. 咁計法，又點解唔會食到兩個蛋糕嘅？

從數學角度嚟講，小明食蛋糕嘅總數量 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ……….

• 依個就係“等比數列的無限項和”，記作S_∞ （∞有“無限”嘅意思）。

無限項求和公式：

\(S_{\infty} = \dfrac{a}{1-R} \quad \quad 其中 -1 < R < 1\)

• 留意只有當“-1 < R < 1”嘅時候，數列中各項嘅數值先會一個細過一個，咁“無限項和”先會存在。
  • 例如 2 + 4 + 8 + 16 + 32+ …… 根本就會越加越大，唔會有“無限項和”

§等差數列係冇無限項和嘅！

7.6.2 使用該公式解有關問題

同上一章一樣，“使用公式解有關問題”即係“做長題目”。

當題目提到嘅係等比數列而又有“不斷咁重覆”嘅意思時，咁就極有可能係考緊“無限項和”。留意要先計得首項a及公比R。