數列的有限項求和公式

7.5 理解等差數列和等比數列的 有限項求和公式 及使用該公式解有關問題（Understand the General Formulae of the Sum of a Finite Number of Terms of an Arithmetic Sequence and a Geometric Sequence and Use the Formulae to Solve Related Problems）

“有限項求和公式”其實係指將數列嘅第1項加第2項、加第3項……一直加到第n項。

• 因此有時我哋會叫依個“和”做“n項和”，記作S_n或S(n)。

7.5.1 等差數列的 有限項求和公式

喺中學教科書度條公式係：

• \(S(n) =\dfrac{[2a+(n-1)d]\times n}{2}\)

不過我就係記小學學過嘅公式：

• “頭加尾乘項數除2”，即： \(S(n) = \dfrac{(頭+尾) \times 項數}{2}\)
  • 頭 = a
  • 尾 = 第n項 = a + (n – 1)d
  • 項數 = n  (因為係計n項和)
  • 其實只要將以上數值代入條“小學公式度”，我哋就會得到中學教科書入面嘅公式。

7.5.2 等比數列的 有限項求和公式

公式係:

• \(S(n)=\dfrac{a(1-R^{n})}{1-R}\)   或
• \(S(n)=\dfrac{a(R^{n}-1)}{R-1}\)

唔似等差數列嘅n項和，我哋係冇“小學公式”嘅。

另兩條公式雖然相等，不過我習慣如果R>1就用第二條，R<1就用第一條。

• 咁做只係唔想喺分子、分母度見到負數。

7.5.3 使用公式解有關問題

所謂“使用公式解有關問題”即係“做長題目”，當中可以包括與幾何圖形有關的題目。

• 例如一系列的相似圖形中的面積就是一個等比數列。

“解有關問題”時嘅技巧包括：

• 先明白同背咗“通項”、“n項和”嘅公式。
• 如果唔識點計條數，可利用題目俾嘅資料先求“首項”、“公差”和“公比”，之後再諗點計條數。