分組數據和不分組數據的標準差
17.4 理解分組數據和不分組數據的 標準差 之概念 (Understanding the Concept of Standard Deviation for Both Grouped and Ungrouped Data Sets)
計算 標準差 嘅公式係有不分組數據和分組數據之分。
咁你又記唔記得咩係“分組數據”同“不分組數據”呢？
- 不分組數據就係好簡單將所有數據一個個咁列晒出嚟。
- 亦有時會用“頻數”嚟指出有幾多個數嘅“值”係一樣。
- 總之最緊要係我哋知道所有數據嘅正確值。
- 分組數據就係會將數據分組，例如“1-10”、“11-20”。然後利用“頻數”嚟指出每個組別入面有幾多個數據。
- 喺分組數據入面，我哋唔會知道所有數據嘅正確值（只係知個範圍）。
17.4.1 不分組數據的標準差
喺度先列出不分組數據的標準差 (通常用符號 σ代表) 嘅公式：
\(\sigma = \sqrt{\dfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+……+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}}\)
- 標準差通常用符號 代表（寫法係以順時針方向寫個O字後繼續畫多條尾咁）
- n係數據嘅數量
- x1、x2等係個別數據嘅值
- \(\bar{x}\) 係所有數據嘅平均數（如果題目冇俾，咁你就先要由D數據計佢出嚟）
§ 留意課程入面提到要我哋識“方差”（variance）依個數學詞彙。
- “方差”通常用符號 s 代表。
- 而方差嘅定義係 \( s = \sigma^{2}\)
17.4.2 分組數據的標準差
分組數據嘅標準差其實差唔多，只不過我哋要考慮以下兩點
- 頻數（f1、f2等）代差每個分組內有幾多個數據
- 要用“組中點”代表每個分組內所有數據嘅值（符號都係x1、x2）。
因此分組數據的標準差條公式就會係
\(\sigma = \sqrt{\dfrac{f_{1}(x_{1}-\bar{x})^{2}+f_{2}(x_{2}-\bar{x})^{2}+……+f_{n}(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}}\)
17.4.3 標準差的概念
知道咗上面條兩條咁煩、咁長嘅公式之後，我諗係時候講吓“標準差之概念”。
我哋會嘗試吓去理解數學家係點諗到、點定不分組數據的標準差條公式。
- 首先，“標準差”可以睇成係“數據同標準嘅差距”（依個解釋係我作嘅）。
- 所以先要定出用咩做標準。而標準差就用咗“數據嘅平均數”做標準。
- 至於“差距”，最簡單就梗係“攞個別數據同平均數嘅差距”。
- 其次，因為唔同數據組可以有唔同數目嘅數據，所以為求公平，當我哋計“數據同平均數嘅差距”嘅時候，我哋要計“數據同平均數嘅差距”嘅平均數。
- 基於以上概念，古代數學家首先建議用作標準差嘅公式可能係：
\(\quad \sigma = \dfrac{(x_{1}-\bar{x})+(x_{2}-\bar{x})+……+(x_{n}-\bar{x})}{n}\)- 假如數據係5,5,5（平均數 = 5）。
- 而用上面條公式計一計，標準差 = [(5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5)] / 3 = [0 + 0 + 0] / 3 = 0。
- 咁都好正常，因為所有數據同平均數嘅差距都係零！
- 但假如數據係2,5,8呢？（2,5,8嘅平均數都係5）
- 標準差 = [(2 – 5) + (5 – 5) + (8 – 5)] / 3 = [-3 + 0 + 3] / 3 = 0 / 3 = 0
- 咁又唔合理！所以第一個版本嘅公式設計上有問題。
- 假如數據係5,5,5（平均數 = 5）。
- 好明顯我哋計到零嘅原因係因為“差距”有正有負，所以cancel咗。
- 為咗令所有嘅差距變做正數，數學家就將每個差距攞二次方。
- 所以我哋將上面嘅建議改成：
\(\quad \sigma = \dfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+……+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}\)
- 雖然咁就解決咗“正、負差距互相cancel”嘅問題，但因為攞咗二次方，所以好似將D差距“放大咗”。
- 例如8同平均數5嘅差距只係3，但用 \((x_{1}-\bar{x})^{2}\) 就計到9。
- 為咗解決“心理上過意唔去”，所以就將個結果“開返方”。
- 因此，最終被接納嘅標準差公式就係：
\(\quad \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+……+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}}\)
希望上面所作嘅故仔可以幫到大家明白同記條公式。