圓上角的性質
11.2 理解 圓上角的性質 (Understand the Angle Properties of a Circle)
圓上角的性質 應該係DSE圓形平面幾何入面考得最多嘅定理。要學好，首先要學點分囻上面嘅兩種角：圓周角及圓心角。
11.2.1 什麼是圓周角和圓心角
圓上面角特別嘅角有兩種：圓周角同圓心角
- 圓周角係指以下方法畫出嚟嘅一種角：
- 先係圓形上定出一條弧（圖中嘅紅線）。
- 再由弧兩端畫直線到對面圓周上一點（圖中嘅藍線）。
- 圓心角係指以下方法畫出嚟嘅一種角：
- 先在圓形上定出一條弧（圖中嘅紅線）。
- 再由弧嘅兩端分別畫直線到圓心（圖中嘅綠線）。
11.2.2 同弓形內的圓周角 (Angles in the same segment)
“同弓形內的圓周角”係指“同一個弓形內嘅所有圓周角都係相等嘅”。
- 即係喺右圖入面： a = b = c
- 答題時可簡寫為:
∠s in the same segment
其實要喺題目度睇到D相等嘅圓周角都唔係太難：
- 先望住其中一隻圓周角
- 沿住隻角嗰兩條線走到圓周上嘅另外兩點（即A、B點）
- 鎖定A、B點
- 只要由A、B點出發，畫喺同一個弓形上嘅角都會與頭先隻圓周角相等
10.1.3 圓心角兩倍圓周角 (Angle at centre twiceAngle at circumference)
簡寫: ∠ at centre
- 喺以下三幅入面，隻圓心角都係圓周角嘅兩倍：
一般同學都可以睇到第一幅（即最左）係可以用“圓心角兩倍圓周角”，但到第二、第三幅圖時就有時會有問題。其實睇“圓心角兩倍圓周角”嘅技巧如下：
- 先望住其隻圓周角（或圓心角）
- 沿住隻角嗰兩條線走到圓周上的另一邊，鎖定A、B點
- 從A、B點出發，劃出隻圓心角（或圓周角）
- 留意代表兩隻角大細嘅“弧線”都係向住同一個方向
另外，有時同學睇到最右邊幅圖時會以為係“圓內接四邊形”！記住“圓內接四邊形”嘅四隻角都係要喺圓周上。
- 圖中四邊形的其中一頂點係喺圓心上，所以不是“圓內接四邊形”。
11.2.4 圓上的圓周角 (Angle in semi-circle)
簡寫: ∠ in semi-circle
“半圓上的圓周角”係指“半圓內嘅三角形係一個直角三角形”，即有隻90o角”。
- 接受到以上嘅定理之後，要留意我哋可以將上面嘅定理“倒轉講”。即：
- 如果有隻圓周角是直角，咁佢所對應嘅弦係一條直徑。
- 如題目中提到某直線是圓的直徑，九成九要用半圓上的圓周角。所以記住馬上mark低隻圓周角係直角。
11.2.5 弧長與圓心角成比 (Arcs proportional to Angles at centre)
簡寫: arcs prop. to ∠s at centre
“弧長與圓心角成比”係指兩條弧嘅長度喺同佢哋嘅圓心角嘅大細比係一樣嘅。
要明點解有“弧長與圓心角成比”依個定理都好容易。
- 右圖中嘅兩個扇形，其圓心角分別係x同2x。
- 只要想像把黃色大扇形一分為二，咁就等於有兩個藍色扇形。
- 因此我哋可以推論大扇形嘅弧長係細扇形嘅兩倍。
留意：大扇形同細扇形嘅弦嘅長度係唔成比例嘅！
11.2.6. 弧長與圓周角成比 (Arcs proportioanl to Angles at circumference)
簡寫: arcs prop. to ∠s at circum.
“弧長與圓周角成比”依個定理可以話係“弧長與圓心角成比”嘅推論。
我哋可以用以下嘅推論嚟明白點解“弧長與圓周角成比”：
- 右圖有兩個部份，佢哋嘅圓周角分別為2x及x。
- 所以圓周角嘅比係“2：1”。
- 大家跟住畫返兩隻圓周角相應嘅圓心角出嚟。
- 利用“圓心角兩倍圓周角”，我哋可以知道兩隻圓心角分別係4x同2x。所以圓心角嘅比都係“2：1”。
- 利用“弧長與圓心角成比”，我哋又可以知道兩條弧長度嘅比都係“2：1”。
- 因此“兩條弧長嘅比”同“兩隻圓周角嘅比”都係一樣。
- 即係“弧長與圓周角成比”。