排列應用題

15.3 解不同物件的無重排列應用題 (Solving Problems on the Permutation of Distinct Objects without Repetition)

喺前面我哋已經講解過排列 Permutation 嘅概念同記法，喺依課我哋就學點計同排列有關嘅數。

留意標題入面有提到“不同物件”同“無重”兩個字眼。

• “不同物件”就係指要排列嘅物件每件都唔同。而喺前面我哋都見過如果物件當中有相同嘅話，排列嘅方法會少好多。
• “無重”就係指我哋唔可以“重複”咁將同一件物件排喺兩個位置度。
  • 例如題目要求我哋由 “1、2、3”入面抽出兩個數字嚟排列，咁“11、22、33”係唔係一個可能嘅排法。
• 考評局咁set個課題都只係想簡化同限制題目嘅難度同變化。
  • 不過話雖如此，大家都係要留意真正考試題目嘅內容。

喺未講點做應用題前我哋先要學點計以下兩樣嘢：

• 將n件不同物件排列嘅方法數目。
• 從n件不同物件中抽出r件物件嚟排列嘅方法數目。

15.3.1 將n件不同物件排列嘅方法數目

首先，我哋可以將“把n件不同物件排列”嘅動作睇成為“先放一件物作喺第一個位，然後再放另一件物件喺第二個位，然後…… 最後放一件物件喺第n個位”。

而根據前面教過嘅“計數原理的乘法法則”，

• 將n件不同物件排列嘅方法數目
  = 將一件物件放喺第一個位嘅方法數目 x
    × 將一件物件放喺第二個位嘅方法數目
    × 將一件物件放喺第三個位嘅方法數目 
    ×  …. 
    ×最後放一件物件喺第n個位嘅方法數目
  • 而因為最初我哋有n件物件，所以有n個方法放一件物件喺第一個位度。
  • 而因為“唔會重複”放物件，所以到要放物件喺第二個位嘅時候我哋只有(n – 1)件物件。咁即係有(n – 1)個方法。
  • 如此類推，我哋就可以計到，
    將n件不同物件排列嘅方法數目
    = \(n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times … \times 3 \times 2 \times 1\)

• 數學家為咗偷懶唔想成日寫 “\(n \times (n-1) \times (n-2) \times (n – 3) \times … \times 3 \times 2 \times 1\)”，佢哋就定義咗“階乘（factorial）”嘅概念同符號。
        \(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times … \times 3 \times 2 \times 1\)
  • 例如：　5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
    • 大家嘅計數機都應該喺有“x!”依個功能鍵嘅！請試吓用。
  • 如果你覺得“階乘”個名好難記，可以當佢喺“階梯嘅乘數”，由高至1咁乘。

總結，將n件不同物件排列嘅方法數目 = n !

15.3.3 從n件不同物件中抽出r件物件嚟排列嘅方法數目

用返上面嘅諗想，

• 從n件不同物件中抽出r個物件嚟排列嘅方法數目
  = 將一件物件放喺第一個位嘅方法數目
     x 將一件物件放喺第二個位嘅方法數目
     x 將一件物件放喺第三個位嘅方法數目
     x ….
     x最後放一件物件喺第r個位嘅方法數目
  = \(n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times … \times (n-r+1)\)
• 喺度教一教大家點睇最尾嗰個數係(n – r + 1)。
  • 其實大家只係留意 “第二個數係將n減1”、“第三個數係將n減2”入面嘅變化，咁就應該可以估到到第r個數嘅時候係“第r個數係將n減r – 1”
  • 但留意到我哋寫出嚟嘅時候要有括號！
    所以 第r個數係 n – (r-1)，即係 n – r + 1。
• 而為咗偷懶，數學家又結果化簡成，
  從n件不同物件中抽出r個物件嚟排列嘅方法數目
  \(\begin{align}
  &= n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times (n-r+1) \\
  &= \dfrac{n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times (n-r+1) {\color{Red} \times (n-r) \times (n-r-1)  \times … \times 3 \times 2 \times 1}}{{\color{Red}(n-r) \times (n-r-1)  \times … \times 3 \times 2 \times 1}}\\
  &= \dfrac{n!}{(n-r)!}
  \end{align}\)

咁仲未夠懶，數學家仲用埋最前我哋講過嘅 \(P_{r}^{n}\)符號。

• 因為 nPr = 從n件不同物件中抽出r件物件嚟排列嘅方法數目，所以
  \(從n件不同物件中抽出r件物件嚟排列嘅方法數目 = P_{r}^{n} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
• 例如：從4件不同物件中抽出2個物件嚟排列嘅方法數目
                = ₄P₂ = 4! / (4 – 2)! = 24 / 2 = 12
  • 大家用緊嘅計數機其實都有“nPr”依個功能。如果你係用casio fx-3650P，咁你就可以按“4 SHIFT x 2 EXE”嚟計₄P₂。

15.3.3 咩係“0!”？

根據前面所講： 將n件不同物件排列嘅方法數目 = n !

但如果我哋將“將n件不同物件排列”睇成為“從n件不同物件中抽出n件物件嚟排列”，咁就計到： 將n件不同物件排列嘅方法數目 = nPn

而根據nPr嘅定義，只要代r=n，我哋計到：

\(P_{n}^{n} = \dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!}\)

因此我哋就會得到 0! = 1

• 唔好問到底“0!”係代表咩！依個只係一個數學上嘅推論結果/定義。
• 如果你用計數機計0!，你都會得到1依個答案。

課程冇特別要求我哋識依樣嘢。只不過如果你知道咗，咁其實你以後只要記：

\(從n件不同物件中抽出r件物件嚟排列嘅方法數目 = P_{r}^{n}\)

講到依度，我哋可以開始睇D應用題（即係文字題）。