解指數方程和對數方程
3.5 解指數方程 和對數方程（Solve Exponential Equations and Logairthmic Equations）
到底咩係解指數方程及對數方程 (Solve Exponential and Logairthmic Equations)呢?
要解答依個問題其實係要解釋咩係指數方程及對數方程。
- 指數方程係指一條方程中未知數係喺指數函數中指數位置度出現。
- 對數方程就係一條方程中指未知數係喺對數函數中出現。
咁解方程當然係指由計算出方程嘅解/答案。
- 因為未知數嘅特殊位置，喺過程中都會應用到指數函數及對數函數嘅性質。
- 較深嘅目標亦好可能需要透過變換未知數把原有嘅方程變成一條普通嘅方程。然後求得這條方程的解 (即答案)。到最後再利用上面嘅解把原有變數嘅解計出嚟。
3.5.1 解指數方程 (Solve Exponential Equations)
指數方程最特別嘅地方係個未知數係喺“指數嘅位置”度。
- 例如： \(2^{x}=4\)
解指數方程嘅方法基本上有兩個：
- 用眼睇
- 左右take log，再利用對數函數嘅性質（主要係用到公式 \(log a^{x}=xlog a\)）
解說：
- 依條喺“用眼睇”就可以解到嘅指數方程。
- 而所謂“用眼睇”其實就係睇到81係同3嘅幾多次方有關（81 = 34）。
- 見到依點就可以寫個答案出嚟。
3x = 81
3x = 34
x = 4 (比較兩邊指數)
解說：
- 因為50同3嘅幾多次方冇咩關係，所以唔可以用上面嘅方法做依條數。
- 喺依嗰時候就要用”左右 take log”嘅方法嚟計：
\(\begin{align}
3^{x} &= 50 \\
log 3^{x} &= log 50 \quad (兩邊 take log) \\
x log 3 &= log 50 \quad (利用公式 log a^{x} = x log a) \\
x &= \dfrac{log50}{log 3} \\
x &= 3.56 \quad \quad (用計數機㩒計的)
\end{align}\)
解說：
- 其實我哋可以唔用“用眼睇”嘅方法，總之見到解指數方程就左右take log。
\(\begin{align}
3^{x} &= 81 \\
log 3^{x} &= log 81 \\
x log 3 &= log 81\\
x &= \dfrac{log81}{log 3} \\
x &= 4
\end{align}\)
3.5.2 解對數方程 (Solve Logairthmic Equations)
對數方程最特別嘅地方係條方程入面一開始已經有“log”出現。
解對數方程基本上只有一個法，就係：
- 整到兩邊都係“log一嚿嘢”
- 之後左右一齊整走個log
- 再解方程
解說：
- 方程左邊已經係“log一夠嘢”，所以唔駛變。
- 右邊係1… 咁“1”係等於咩呢？
- 用計數機用一用“Shift”“ Log”公能，就知 1 = log 10。
所以個答案可以咁寫：
\(\begin{align}
log (2x + 4) &= 1 \\
log (2x + 4) &= log 10 \\
2x+4 &= 10 \\
x &= 3 \\
\end{align}\)
解說：
- 方程左邊未係“log一夠嘢”（係“兩夠log”嘅相加），所以要變一變。
- 睇返log嘅公式，有條係 log M + log N = log (MN)。
- 咁用咗佢咪可以將左邊變成“log一夠嘢”囉。
- 右邊係2… 用計數機可以計到 2 = log 100。
所以個答案可以咁寫：
\(\begin{align}
log (2x + 4) + log 2 &= 2 \\
log [2(2x + 4)] &= log 100 \\
4x+8 &= 100 \\
x &= 23
\end{align}\)