複數的四則運算
1.9 進行 複數的四則運算 (加、減、乘及除) (Performing Addition, Substraction, Multiplication and Division of Complex Numbers)
要進行 複數的四則運算 ，我哋要先明白咩係複數。
複數係由實數和虛數組成，例如 4 + 3i。
- 實數係實際存在嘅數值(即我地由細學到大嘅數)。
- 相對地，虛數係”不實在”, 虛構出嚟嘅數。
- 虛數部份我地會以 “幾多個 i” 嚟表示。
但到底咩叫ｉ呢?
- \(i\) 嘅定義係 \(i=\sqrt{-1}\)，即 \(i^{2} = (\sqrt{-1})^{2} = -1\)
- 非除你對數學好有興趣，否則不用太著意\(\sqrt{-1}\)喺咩，因為佢係虛構出嚟、不實際地存在。
1.9.2 複數的四則運算 – 加、減
複數的加、減其實冇咩特別。
- 大家只要當係平時嘅多項式加減就OK（即係一樣嘅同類項可以進行加減）。
3 + 2i – (2 – 4i)
= (3 – 2) + (2i – (-4)i)
= 1 + (2i + 4i)
= 1 + 6i
1.9.3 複數的乘運算
複數的乘基本上同多項式嘅乘法係一樣。只係最後我哋要利用 \(i^{2} = -1\)嚟再化簡個運算結果。
(3 + 2i) (2 – 4i)
= 6 – 12i + 4i – 8i2
= 6 – 8i – 8(-1)
= 6 – 8i + 8
= 14 – 8i
1.9.3 複數的除運算
複數的除基本上同有理化一個有根號嘅分數（即係好似 \(\dfrac{2+sqrt{5}}{1+sqrt{3}}\)）差不多。
- 當中要留意我哋係要利用到恆等式：
(a + b) (a – b) = a2 – b2
首先我哋要睇住原本嘅分母嚟決定乘咩。
- 如果分母係 a + bi，咁我地就上下都乘 a – bi。
- 如果分母係 a – bi，咁我地就上下都乘 a + bi。
\(\begin{align}
\dfrac{3+2i}{2-4i} &= \dfrac{(3+2i)(2+4i)}{(2-4i)(2+4i)} \\
&= \dfrac{6+12i+4+8i^{2}}{4-16i^{2}} \\
&= \dfrac{6+16i+8(-1)}{4-16(-1)} \\
&= \dfrac{-2+16i}{20} \\
&= \dfrac{-1+8i}{10}
\end{align}\)