直線與圓相交的各種可能情況
13.2 求直線與圓交點的坐標及理解 直線與圓相交的各種可能情況 (Find the Coordinates of the Intersection of Straight Line and Circle and Understand the Possible Intersection of a straight Line and a Circle)
我諗唔難想像一條直線同一個圓相交 (Intersection of Straight Line and Circle)
嘅情況有以下三種：
- 直線穿過圓形，因此佢哋有兩個相交點。
- 直線只係掂住個圓形（即直線係圓嘅切線），因此佢哋只有一個相交點。
- 直線喺圓嘅外面“經過”，因此佢哋冇相交點。
13.2.1 求直線與圓交點的坐標 (Coordinates of Intersection of Straight Line and Circle)
喺未講點判斷以上邊種情況會發生之前，我哋先要學點用直線同圓嘅方程嚟求個相交點。
- 其實同求相條直線嘅相交點嘅概念同方法一樣。
- 我哋要做嘅係解咗直線同圓兩條方程嘅“二元一次聯立方程”。
- 而當中我哋要用到代入消元代 (加減消元法喺依種情形下唔work)。
解說：
- 我哋先將直線嘅方程變成“x等於幾多y”或者“y等於幾多x”（邊個方便就變邊個）。
由 2x – y + 1 = 0，可知 y = 2x + 1 - 之後將佢代入圓方程度、再展開、化簡、再解條一元二次方程。
x2 + (2x+1)2 – 2x – 6(2x+1) – 8 = 0
x2 + (4x2 + 4x +1) – 2x – 12x – 6 – 8 = 0
5x2 – 10x – 13 = 0
x = 2.90 或 x = -0.90 - 上面嘅答案就係直線同圓嘅交點嘅x-坐標。
- 要計埋個y-坐標，我哋只要將佢代入“y等於幾多x”條式度。
- 當x=2.90時，y = 2(2.90)+1 = 6.80。
- 當x=-0.90時，y = 2(-0.90)+1 = -0.80。
- 因此，直線同圓嘅交點係 (2.90, 6.80) 及 (-0.90, -0.80)。
13.2.2 判斷直線與圓相交的情況
由計相交點嘅方法度，我哋係要解一條一元二次方程。
- 而根嘅數目就正正係相交點嘅數目。
- 而一條一元二方程嘅根嘅數目又有可能係“2, 1或者0”。
- 咁大家又記唔記得點判斷一條一元二次方程有幾多個根呢？
- 冇錯！就係睇條一元二次方程嘅判別式 b2 – 4ac。
- 咁大家又記唔記得點判斷一條一元二次方程有幾多個根呢？
13.2.3 求圓的切線方程
求圓嘅切線嘅題目基本上可以分為兩類。
- 求通過圓上一點的切線。
- 喺依個情形之下我哋會求到一條切線。（唔信可以試吓自己畫唔畫到兩條切線係通過圓上嘅某一點。）
- 求通過圓外面某一點嘅切線。
- 喺依個情形之下我哋會求到兩條切線。（還記得圓形幾何入面嘅切線性質嗎？）
其實無論喺邊一種情形，我哋求切線方程嘅方法都係一樣：
- 先設切線為 y = mx + c。
- 因為切線通過某一點（不論係圖上面或者圓外面）嘅，所以我哋可以代依點嘅坐標入直線方程度。為方便講解，當切線通過(1,2)依點。因此：
2 = m + c
即 c = 2 – m - 所以直線嘅方程會變成 y = mx + (2-m)
- 當我哋要求直線同圓嘅交點，所以要代“y = mx + (2-m)”入圓方程度。
- 咁就可以得到一條一元二次方程。
- 而最後因為條直線係切線嚟嘅，所以依條方程嘅判別式會等於0。
- 我哋只要根據一元二次方程中嘅“a、b、c位”代入公式 b2 – 4ac = 0，然後解咗佢就會計到個m。當中要留意嘅係：
- 過程中嘅數式會幾長
- 根據題目嘅情況，我哋可能會計到一個或者兩個m。
如果大家有學中學文憑數學嘅延伸課程，其實我哋仲有其他方法嚟求圓嘅切線。不過喺依度就唔講喇。