理解圓方程
13.1 理解圓方程 (Understand the Equation of a Circle)
理解圓方程 係指要大家明白
- 點用方程去表逹一個圓形
- 由一個圓方程搵返圓形嘅圓心同半徑
其實喺軌跡嗰一課大家已經學咗其中一個搵圓方程嘅方法。
喺度先重溫一吓：
設S點為 (x, y)。
\(\begin{align}
\because SA & = 3 \\
\therefore \sqrt{ (x-4)^{2}+(y-5)^{2}} & = 3 \\
(x-4)^{2}+(y-5)^{2} & = 9 \\
x^{2} -8x+16+y^{2}-10y+25 & = 9 \\
x^{2}+y^{2} -8x-10y+32 & =0
\end{align}\)
13.1.1 圓方程的表達形式（Forms Representing Equation of a Circle）
其實喺上面嘅例子入面，我哋已經見到晒兩個用嚟表達一個圓方程嘅方法：
- 標準式
- 通式
標準式（Standard Form）
- 一個圓心為 (h, k)，半徑為r的圓方程嘅標準式係：
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 - 其實依條式根本就喺搵軌跡嘅方法。
- 用標準式嘅好處係一睇就可以睇到圓嘅圓心位置同半徑。
通式（General Form）
- 假如我哋將圓方程嘅標準式展開（即拆開二次方嘅括號），我哋會得到以下嘅方程：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 （其中D,E,F為常數） - 大家唔好問用通式有咩好處，因為當中嘅道理喺必修部份係唔駛學嘅。
- 反而大家要識得點由通式計返個圓心坐標同半徑出嚟。
- 圓心坐標 = \((-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})\)
- 半徑 = \(\sqrt{(\frac{D}{2})^{2}+(\frac{E}{2})^{2}-F}\)
13.1.2 求圓方程的方法（Methods of Finding Equation of a Circle）
求圓方程有兩個方法。
- 但喺到底用邊一個就其實係決定於題目俾嘅咩嘅資料、條件我哋。
第一個情形“利用圓嘅圓心同半徑”。
- 其實依個根本就係我哋最初學求圓軌跡嘅方法、亦係圓嘅標準式。
- 如果個圓心係 (h, k)，半徑係r，咁圓方程就係：
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 - 中學嘅數就係咁，好多時同一樣嘢學多過一次，只不過“學”同“用”嘅角度唔同。
第二個情形“利用圓上任意三點的坐標”。
- 仲記唔記得對於三點不共線嘅點，其實係會有一個圓通過佢哋？
- 依個方法就就係用嘅依個原理嚟搵個圓嘅方程。
- 方法如下：
- 設圓方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 （其中D,E,F為常數）
- 因為D點係喺圓嘅上面，所以我哋可以代佢哋入圓嘅方程度。
- 代完之後我哋就會有三條式（入面有三個未知數D,E,F）。
- 解咗依三條聯立方程就會求到D,E,F。
- 當然，大家冇學過點解三元一次聯立方程。所以題目應該會係“經過特別設計”。例如圓上嘅其中一點係 (0, 0)，咁一代入條式度，我哋就會計到 F = 0。因此就變成只有兩個未知數（即係我哋要解二次一次聯立方程）。
13.1.3 由圓方程描述有關圓的特徵（Describing the Features of a Circle from Its Equation）
首先，因為我哋已經學咗“標準式”同“通式”，所以我哋可以由圓嘅方程度睇到、或計到圓嘅圓心坐標同半徑。
其次我哋要識得判斷一點到底係喺圓內、圓外定圓上（即圓通過依一點）。
- 睇落就好似好難。但其實好易，方法如下：
- 先由圓方程度計個圓嘅圓心坐標(h,k)同半徑r。
- 再計已知點同圓心嘅距離。當中我哋要用以下嘅公式：
兩點距離 = \(\sqrt{(x_1-h)^{2}-(y_{1}-k)^{2}}\) - 最後就係比較“兩點距離”同“圓半徑”邊個大。
- 如果“兩點距離 > 圓半徑”，該點就係喺圓嘅外面。
- 如果“兩點距離 = 圓半徑”，該點就係喺圓嘅上面。
- 如果“兩點距離 < 圓半徑”，該點就係喺圓嘅入面。