概率加法定律
16.2 理解 概率加法定律 和互斥事件及互補事件的概念 (Understanding the Addition Law of Probability and the Concepts of Mutually Exclusive Events and Complementary Events)
係未講 概率加法定律 之前，我哋先溫一溫概率嘅基本概念。
假設某事件（或情況）為A，咁我哋會用P(A)嚟代表事件A發生嘅概率。
- 睇返上面條式，你會發現當中提及“數數目”嘅概念。而依果亦係點解喺前面嗰課我哋要“排列和組合”。
- 另一方面，“符合事件A嘅結果”亦可以用一個集合嚟表達。
- 例如：擲三個銀仔而得到兩個字嘅結果 = { TTH, THT, HTT }
16.2.1 概率加法定律
有關概率加法定律嘅概念可以用以下嘅例子講解：
考慮一副52張嘅啤牌。我諗你都應該知當中有4隻King、4隻Queen。
當我哋從牌中抽一隻出嚟嘅時候，
- P(抽到King) = 4 / 52
- P(抽到Queen) = 4 / 52
- P(抽到Queen或抽到King) = 8/52
考慮一副52張嘅啤牌，我諗你都應該知當中有13隻紅心、4隻King、4隻Queen。
當我哋從牌中抽一隻出嚟嘅時候，
- P(抽到紅心) = 13 / 52 （為方便下面嘅講解，我唔化簡個分數了）
- P(抽到King) = 4 / 52
- P(抽到紅心或抽到King) = 16/52
- 點解我哋唔可以就咁“13/52 + 4/52 =17/52”而係“16/52”呢？
- 我諗你都答到係因為有一隻紅心King，所以“13+4=17”入面會數多一隻。
從以上兩個例子，我地可見:
- P(抽到Queen或抽到King) = P(抽到King) +P(抽到Queen)
- P(抽到紅心或抽到King) ≠ P(抽到紅心) + P(抽到King)
咁到底 P(A或B) 幾時可以就咁變成“P(A) + P(B)”，幾時唔得呢？ 依果就係“概率加法定律”所要講嘅嘢。
概率加法定律指出：
P ( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
上面我哋用咗一個更正確、更常用嘅寫法：
- P ( A ∪ B ) 係代表 “事件A 或 事件B ”發生嘅概率。
- P ( A ∩ B ) 係代表“事件A 及 事件B ”同時發生嘅概率。
其實只要諗一諗，我哋就應該明白“要減返P ( A ∩ B )”就係因為
- 當我地分開數符合A和符合B嘅數量時我地有可能會重覆數咗一D同時符合A及B的事件
- 所以計算P(A) + P(B)後，我地要減返嗰D同時符合A及B的事件
(即要減返P ( A ∩ B ))
16.2.2 以利用溫氏圖解釋概率加法定律
當你有一個印象係計“概率加法”嘅時候有時會“重覆計多咗一部份”嘅時候，我哋亦可以利用溫氏圖嚟理解依個“概率加法定律”。
- 我諗就係因為溫氐圖可以幫助我哋去理解概率中嘅一D概念、定理，所以喺HKDSE嘅課程先會加返入去。
我哋先考慮下面嘅溫氏圖。
- 因為“概率值1”係“代表必定發生”，而長方形又代表咗“所有”，所以我哋會講長方形嘅面積值1。
- 圓形A嘅面積就代表咗事件A發生嘅概率，即P(A)。
- 圓形B嘅面積就代表咗事件B發生嘅概率，即P(B)。
- 圓形A同B重叠部份嘅面積 = P ( A ∩ B )
- 而“事件A或事件B會發生嘅概率”就係等於圖中有陰影部份嘅總面積。
即 P ( A ∪ B ) = 圓形A嘅面積 +圓形B嘅面積 – 圓形A同B重叠部份嘅面積
即 P ( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
利用“概率加法定律”計返抽啤牌嘅兩條例題：
- P(抽到Queen 或 抽到King)
= P(抽到King) + P(抽到Queen) – P(抽到的是King及Queen)
= 4/52 + 4/52 – 0 (因為冇一隻牌又係King又係Queen)
= 8/52 - P(抽到紅心 或 抽到King)
= P(抽到紅心) + P(抽到King) – P(抽到的是紅心及King)
= 13/52 + 4/52 – 1/52 (因為有一隻紅心King)
= 16/52
16.2.3 互斥事件及互補事件 (Mutually Exclusive Events and Complementary Events)
可能你都有留意同，喺計“概率加法”嘅時候最特別就係多咗個P(A ∩ B)。
- 而P(A ∩ B) 有時會等於零、有時又唔等於零。（……好似喺度講廢話）
- P(A ∩ B) = 0 係代表咗事件A同B喺唔會同時發生嘅。
- 例如抽一隻啤牌時抽到6同8。
- 而當P(A ∩ B) ≠ 0 嘅時候就代表咗事件A同B喺可以同時發生嘅。
- 例如抽一隻啤牌時抽到6同紅心。
- P(A ∩ B) = 0 係代表咗事件A同B喺唔會同時發生嘅。
對於唔可以同時間發生嘅事件，我哋就叫佢哋都“互斥事件”（互相排斥）。
- 如果用溫氐圖嚟睇，互斥事件就係“唔重叠嘅兩個部份”。
而對於“互斥事件A同B”嚟講，我哋又可以留意到，
- 有時情形會係“唔係A就係B，唔係B就係A”。
- 例如“是非題嘅答案是T”同“是非題嘅答案是F”，“擲骰仔擲到雙”同“擲骰仔擲到單”。
- 對於依類事件，我哋會叫佢哋做“互補事件”。
- 如果用溫氐圖嚟睇，互補事件就係“將個長方形一刀切開後嘅兩個部份”。
- 即兩個部份加埋就係“所有可能性”。
- 如果用溫氐圖嚟睇，互補事件就係“將個長方形一刀切開後嘅兩個部份”。
§ 至於“互斥但又唔係互補”嘅事件例子就多的是。例如“擲骰仔擲到雙”同“擲骰仔擲到3”（因為“擲到5”就已經唔喺係依兩件事件入面，所以佢哋唔係互補。）
§ 其實學依D名詞都只係想你諗概率題目時會諗得清楚D。名詞本身冇咩特別。