4. 續多項式

4.0 溫習 多項式

咩叫續多項式？ 其實即係繼續學習有關 多項式 嘅知識。 未學新嘢前，我地先嚟溫習一吓。

4.0.1 當用詞彙

  • 次方 (order)： 多項式中最大嘅次方(又稱為“冪”)
  • 項數 (no. of terms)： 多項式係由幾多個單項式組成
  • 係數 (coefficient)： 多項式中某項嘅數字
  • 同類項(same terms)： 兩個變數同次方都一樣嘅“項”
  • 不同類項(different terms)： 兩個變數或次方不一樣嘅“項”
  • 排列方法 降冪(descending order)： 次方由大至細咁排
  • 升冪(ascending order)： 次方由細至大咁排
  • 常數項(constant term)： 只係得數字嗰一項
  • 項數 = 3；
  • 3x與2y為不同類項；
  • x嘅係數 = 3；y嘅係數 = -2；
  • 常數項 = 5
  • 多項式的次方 = 3
  • 如用降冪排列，多項式應寫為
    \(-2x^{3} + 3x^{2}-2x+5\)

4.0.2. 多項式 的加、減法

要做好多項式嘅加、減，同學只要識得以下三樣嘢就OK：

  • 同類項（same terms）
  • 拆括號
  • 正負數加減

同類項

  • 當中 3x 同 4x 係同類項，所以可以相加： 3x + 4x = 7x
  • x 與 y 唔係同類項，所以唔可以相加。
  • 所以條數係咁做嘅：
                  3x + 5y + 4x
                  = 7x + 5y
  • 利用“同類項”原理，先將題目中嘅項分類：
    • 3x – 5y – 4x – 7y = 3x – 4x – 5y – 7y
      • 3x – 4x = (3 – 4)x = -x;         
        (3 – 4=-1，所以最後有“–1個x”即“-x”)
      • – 5y – 7y = -12y
        (-5 – 7 = -12, 所以最後有 -12y)
  • 所以成條數係咁做嘅：
    3x – 5y – 4x – 7y
    = 3x – 4x – 5y – 7y                  (熟嘅講可以跳咗依步)
    = -x – 12y

拆括號

例子：化簡　3x + 5y + (2y – 4x)

  • 係依個情形下，我哋可以當個“＋”號同括號冇到，只要將每一項抄一次便可以了。
  • 所以成條數係咁做嘅：
    3x + 5y + (2y – 4x)
    = 3x + 5y + 2y – 4x   (留意 “2y”係“正2y”，所以抄成 “+2y”)
    = 3x – 4x + 5y + 2y    (如果眼利睇到所有同類項，依步可以唔寫)
    = -x + 7y

另一例子：

  • 3x + 5y + (–2x + 5y + 3a)
    = 3x + 5y – 2x + 5y + 3a
    = x + 10y + 3a

例子：化簡　3x + 5y – (2y – 4x)

  • 係依個情形下，我哋喺拆括號嘅時候要將括號內每一項抄一次並同時將正負號倒轉。
  • 所以成條數係咁做嘅：
    3x + 5y – (2y – 4x)
    = 3x + 5y – 2y + 4x   (“2y”抄成“-2y”；“-4x”抄成 “+4x”)
    = 7x + 3y

另一個例子（有兩個括號）：

  • –(3x + 5y – 3a) – (–2x + 5y + 3a)
    = –3x – 5y + 3a + 2x – 5y – 3a         (留意D正負號點倒轉)
    = –x – 10y           (3a – 3a = 0a  ,“零個a”係唔駛寫)

4.0.3 多項式 的乘法

要做好多項式嘅乘法，同學要識以下四樣嘢：

  • 乘法分配性質
  • 正負數相乘
  • 基礎指數定律
  • 多項式嘅加、減法
  • 咩係“分配性質”？？
    • 唔好俾個名嚇親…… 其實大家係小學已經學過
    • \(3 \times ( 4 + 5 ) = 3 \times 4 + 3 \times 5\)
  • 例子 3 ( 5a + 6 ) = 15a + 18
    • 留意數字還數字乘，即　\((3) \times (5a) = (3 \times 5)a = 15a\)
  • 我諗唔駛多講，大家都知
    • \(3 \times 4 = 12\)
    • \(3 \times (-5) = -15\)
    • \((-4) \times (-5) = 20\)
    • \((-5) \times 2 = -10\)

心算唔好唔緊要，用計算機篤得快又準更加緊要！

  • 指數係“x2”裡面個“2”，即係我地成日講嘅“２次方”、“３次方”等
  • 大家要識嘅係：
    • \(x \times x = x^{2}\)    唔該留意個 x 同 “乘”嘅寫法
    • \(x \times x^{2} = x^{3}\)  
    • \(a \times b = ab\)

  • 例子 \((3y)  (2y) = 6y^{2}\)
    • 留意數字還數字乘，英文字（即變數）還英文字乘

唔識嘅話可以睇返上面

4.0.4 練習

  • 3 (5y + 6) = 15y + 18
    • 分配性質
  • (5y – 6)(4) = (5y)(4) – (6)(4) = 20y – 24
    • 又係分配性質，請睇清楚點乘，Level 3 要用！
  • -3 (5y – 4) = -15y + 12

有D書會教大家咁寫：

  • -3 (5y – 4)
    = (-3) (5y) – (-3) (4)
    = -15y – (-12)
    = -15y + 12

但我就覺得只要熟分配性質，第一項即係“(-3) (5y) = -15y”; 第二項即係“(-3) (-4) = +12”。

展開 (3x + 1) (2x – 5) 

  • 先將後面括號入面嘅“2x – 5”當成一個公仔，即
     (3x + 1) (2x – 5) = (3x + 1) (Δ) = 3xΔ + Δ
  • 所以條數係咁做嘅：
    (3x + 1) (2x – 5)
    = 3x (2x – 5) + (2x – 5)
    = 6x2 – 15x + 2x – 5       (分配性質 及 拆括號)
    = 6x2 – 13x – 5                (進一步化簡答案（把同類項相加）)

另一例子：

  • (3x – 2) (-2x + 5)
    = (3x) (-2x + 5) – 2(-2x + 5)
    = -6x2 + 15x + 4x – 10
    = -6x2 + 19x – 10

 對數概念的發展

進行多項式除法 

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